在概率论与数理统计中，负二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述的是在一系列独立重复的伯努利试验中，直到出现指定次数的成功事件为止所需的试验次数的概率分布。这种分布广泛应用于各种领域，例如保险、金融风险评估以及生物学中的遗传学研究等。

负二项分布的定义可以这样理解：假设我们进行一系列独立的伯努尔试验，每次试验只有两种可能的结果（成功或失败），且每次试验成功的概率为p（0

\[ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, k=r, r+1, r+2, ... \]

这里，\(\binom{k-1}{r-1}\) 是组合数，表示从\(k-1\)次试验中选出\(r-1\)次成功的方式数目；\(p^r\) 表示这\(r\)次成功发生的概率；\((1-p)^{k-r}\) 则是剩下的\(k-r\)次失败的概率。

负二项分布的一个重要特性是它的期望值和方差。对于上述定义下的负二项分布，其期望值\(E(X)\)和方差\(Var(X)\)分别为：

\[ E(X) = \frac{r}{p} \]

\[ Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} \]

这些公式反映了随着成功次数\(r\)增加或者失败概率\(p\)增大时，平均需要的试验次数会如何变化，同时也揭示了该分布具有比泊松分布更大的方差，适合用于描述那些变异较大的数据集。

此外，在实际应用中，当\(r=1\)时，负二项分布退化为几何分布，即考虑的是第一次成功出现在第几次试验的情况。而当\(r\)趋于无穷大时，并且\(p\)适当调整以保持期望值不变，则负二项分布可以近似为正态分布。

总之，负二项分布在理论研究和实际问题解决中都占有重要地位，掌握其基本概念及其相关性质有助于深入理解随机现象背后的规律性。