【X乘以sinx的不定积分】在微积分的学习中，求函数的不定积分是一个重要的基础内容。其中，“X乘以sinx的不定积分”是一个常见的题目，也是学生在学习积分方法时经常遇到的问题之一。本文将对“X乘以sinx的不定积分”进行详细总结，并通过表格形式展示其解题过程和结果。
一、问题解析
我们需要计算的是：
$$
\int x \sin x \, dx
$$
这是一个典型的分部积分法（Integration by Parts）应用问题。根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们可以选择适当的 $u$ 和 $dv$ 来简化积分。
二、解题步骤
1. 设
$$
u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx
$$
$$
dv = \sin x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = -\cos x
$$
2. 代入公式
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx
$$
3. 计算剩余积分
$$
\int \cos x \, dx = \sin x
$$
4. 合并结果
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
三、总结与表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $u = x$, $dv = \sin x \, dx$ |
| 2 | 则 $du = dx$, $v = -\cos x$ |
| 3 | 应用分部积分公式：$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$ |
| 4 | 计算 $\int \cos x \, dx = \sin x$ |
| 5 | 最终结果为：$-x \cos x + \sin x + C$ |
四、结论
“X乘以sinx的不定积分”可以通过分部积分法高效求解。最终结果为：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
这个结果不仅适用于数学分析中的基本问题，也在物理、工程等实际应用中具有重要意义。
如需进一步练习类似题目，可尝试计算 $\int x \cos x \, dx$ 或 $\int x^2 \sin x \, dx$，以巩固分部积分的应用技巧。
