【常见的导数公式有哪些】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式是学习微积分的基础。以下是一些在数学、物理和工程中经常用到的导数公式，便于快速查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数形式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数的导数（链式法则）
对于复合函数 $ f(g(x)) $，其导数为：
$$
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
$ f(x) = \sin(3x) $ 的导数为 $ f'(x) = 3\cos(3x) $
五、其他常用导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | $ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ f'(x) = -\frac{1}{x^2} $ |
| $ f(x) = \sinh x $ | $ f'(x) = \cosh x $ |
| $ f(x) = \cosh x $ | $ f'(x) = \sinh x $ |
| $ f(x) = \tanh x $ | $ f'(x) = \text{sech}^2 x $ |
总结
导数公式是微积分中的基础工具，掌握这些公式有助于解决各种实际问题，如求极值、分析函数变化趋势、计算速度与加速度等。通过不断练习和应用，可以更加熟练地运用这些公式，提高解题效率。
