【等差数列的通项公式怎么求】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个常数。这个常数称为“公差”。掌握等差数列的通项公式，是解决相关问题的基础。
要找到等差数列的通项公式，关键在于明确两个要素：首项（a₁）和公差（d）。根据这两个参数，可以推导出任意一项的表达式。
一、等差数列的基本概念
| 概念 | 含义 |
| 等差数列 | 一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差为定值 |
| 首项（a₁） | 数列的第一个数 |
| 公差（d） | 相邻两项之间的差 |
| 第n项（aₙ） | 数列中的第n个数 |
二、通项公式推导
等差数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第n项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
推导过程（以例子说明）：
假设一个等差数列为：2, 5, 8, 11, 14...
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公差 $ d = 5 - 2 = 3 $
根据公式计算各项：
- 第1项：$ a_1 = 2 $
- 第2项：$ a_2 = 2 + (2 - 1) \times 3 = 5 $
- 第3项：$ a_3 = 2 + (3 - 1) \times 3 = 8 $
- 第4项：$ a_4 = 2 + (4 - 1) \times 3 = 11 $
- 第5项：$ a_5 = 2 + (5 - 1) \times 3 = 14 $
结果与原数列一致，说明公式正确。
三、通项公式的应用
| 应用场景 | 示例 |
| 已知首项和公差，求某一项 | 若 $ a_1 = 3 $，$ d = 4 $，求第6项：$ a_6 = 3 + (6 - 1) \times 4 = 23 $ |
| 已知两项，求公差 | 若 $ a_3 = 10 $，$ a_7 = 22 $，则 $ d = \frac{22 - 10}{7 - 3} = 3 $ |
| 判断某数是否为等差数列中的项 | 若 $ a_1 = 1 $，$ d = 2 $，判断15是否为其中一项：解方程 $ 1 + (n - 1) \times 2 = 15 $，得 $ n = 8 $，是第8项 |
四、总结
等差数列的通项公式是理解数列规律的重要工具。通过首项和公差，我们可以快速计算出任意一项的值。掌握这一公式，有助于解决实际问题，如预测增长趋势、分析数据模式等。
| 关键点 | 内容 |
| 公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 首项 | 数列的第一项 |
| 公差 | 相邻两项之差 |
| 应用 | 计算特定项、求公差、判断项是否存在 |
通过不断练习，可以更熟练地运用等差数列的通项公式，提升数学思维能力。
