【利用泰勒公式求极限】在高等数学中，求极限是一个常见的问题。当极限表达式较为复杂时，直接代入或使用洛必达法则可能不够高效或无法解决。此时，泰勒公式（Taylor formula）成为一种强有力的工具。泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，从而便于分析极限的值。
一、泰勒公式简介
泰勒公式是将一个光滑函数在某一点附近用多项式近似表示的方法。设函数 $ f(x) $ 在点 $ x = a $ 处有 $ n $ 阶导数，则其泰勒展开式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o((x - a)^n)
$$
其中，$ o((x - a)^n) $ 表示比 $ (x - a)^n $ 更高阶的无穷小。
在求极限时，通常选择 $ a = 0 $，即麦克劳林公式（Maclaurin series）。
二、使用泰勒公式求极限的步骤
1. 确定极限的形式：判断是否为 $ 0/0 $、$ \infty/\infty $ 或其他形式。
2. 选择合适的展开点：通常选择 $ x \to 0 $，即展开为麦克劳林级数。
3. 对分子和分母分别进行泰勒展开。
4. 化简表达式并比较同阶项。
5. 提取极限值。
三、常见函数的泰勒展开式（以 $ x \to 0 $ 为例）
| 函数 | 泰勒展开式（到 $ x^5 $ 项） |
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ |
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ |
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ |
| $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ |
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ |
四、典型例题与解答
例题1：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}
$$
解法：
利用 $ \sin x $ 的泰勒展开：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
代入原式：
$$
\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{x - \frac{x^3}{6} - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}
$$
极限值：$ -\frac{1}{6} $
例题2：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}
$$
解法：
利用 $ e^x $ 的泰勒展开：
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
$$
代入原式：
$$
\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
极限值：$ \frac{1}{2} $
例题3：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}
$$
解法：
利用 $ \ln(1+x) $ 的泰勒展开：
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
$$
代入原式：
$$
\frac{\ln(1+x) - x}{x^2} = \frac{x - \frac{x^2}{2} - x}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}
$$
极限值：$ -\frac{1}{2} $
五、总结表格
| 题目 | 展开式 | 极限值 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} $ | $ \sin x = x - \frac{x^3}{6} $ | $ -\frac{1}{6} $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} $ | $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} $ | $ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} $ | $ -\frac{1}{2} $ |
通过上述方法，我们可以更清晰地理解泰勒公式在求极限中的应用，并有效简化复杂的极限计算过程。
