【等比数列公式前n项和】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值相同。这个比值称为公比（通常用字母 $ q $ 表示）。等比数列的前 $ n $ 项和是学习等比数列时的重要知识点之一。
一、等比数列前n项和公式
设一个等比数列的首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则其前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的计算公式如下：
- 当 $ q \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
- 当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，每一项都等于首项 $ a_1 $，因此：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
二、公式推导思路（简要）
等比数列前 $ n $ 项和的公式可以通过错位相减法进行推导。设：
$$
S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}
$$
两边同时乘以公比 $ q $ 得到：
$$
qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n
$$
将原式与新式相减：
$$
S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n
$$
整理得：
$$
S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)
$$
因此：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
三、总结与应用
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等比数列 |
| 首项 | $ a_1 $ |
| 公比 | $ q $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） $ S_n = a_1 \cdot n $（当 $ q = 1 $） |
| 应用场景 | 财务计算、几何级数、复利问题等 |
四、典型例题解析
例题1： 求等比数列 $ 2, 6, 18, 54, 162 $ 的前5项和。
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公比 $ q = 3 $
- 项数 $ n = 5 $
代入公式：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
答案： 前5项和为242。
通过以上内容可以看出，等比数列前 $ n $ 项和的公式具有较强的实用性，尤其在实际问题中可以用于快速计算累积值。掌握这一公式，有助于提升数学思维和解决问题的能力。
